撞狗逃逸的处理方式取决于事故的具体情况和当地的法律规定。以下是一般的处理流程：
事故评估：首先，需要评估事故的严重性。如果只是轻微的财产损失，且没有其他严重后果，可能不会被视为交通事故。
报警：如果事故造成了较大的财产损失或狗的死亡，且司机知情却选择逃逸，这可能构成交通事故逃逸。在这种情况下，应当报警处理。
责任认定：如果认定为交通事故逃逸，根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，司机可能会面临罚款、扣分甚至刑事责任。
赔偿：如果狗是某个人的财产，司机可能需要对狗的损失进行赔偿。如果双方无法达成赔偿协议，可以通过法律途径解决，例如提起民事诉讼。
法律程序：如果司机被认定为肇事逃逸，且情节严重，可能需要承担相应的法律责任。这可能包括支付罚款、赔偿损失，甚至在某些情况下，可能面临刑事责任。
和解：在某些情况下，如果司机愿意承担相应的责任并赔偿损失，双方可以通过和解的方式解决纠纷。
需要注意的是，每个国家和地区的法律都不相同，上述处理流程是基于一般情况下的中国法律。具体的处理方式应当根据当地的法律规定和实际情况来确定。如果涉及法律问题，建议咨询专业律师。

《中华人民共和国道路交通安全法》第九十九条：
机动车驾驶人违反道路交通安全法律、法规，发生交通事故后逃逸的，由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款，并处十五天以下拘留；情节严重的，吊销机动车驾驶证，并处五年内不得重新取得机动车驾驶证。
因交通事故逃逸，造成人员重伤、死亡或者财产重大损失的，由公安机关交通管理部门吊销机动车驾驶证，并处五年内不得重新取得机动车驾驶证；构成犯罪的，依法追究刑事责任。
交通事故发生后，机动车驾驶人应当立即停车，保护现场，报警，并协助公安机关交通管理部门调查处理。机动车驾驶人违反道路交通安全法律、法规，发生交通事故后逃逸，情节轻微，主动投案，接受调查，并积极赔偿损失的，可以减轻或者免予处罚。