在醉酒驾驶事件发生之后，若保险公司已经在机动车交通事故责任强制保险的限额范围之内垫付了相应的救治费用，那么，根据中国相关法律法规的规定，该保险公司便享有对造成此次交通事故的责任人进行追偿的权利。
一般而言，保险公司会首先确认自己是否已经按照规定在机动车交通事故责任强制保险的限额范围之内进行了垫付，随后，他们将采取法律手段，例如向当地人民法院提出诉讼请求，以期让醉酒驾驶的责任人偿还所垫付的相关费用。
在此过程中，保险公司必须充分准备相关的证据材料，比如支付凭证以及事故责任认定书等等，以便能够有力地证明自己确实进行过垫付，并且醉酒驾驶的责任人也确实存在过错。

《机动车交通事故责任强制保险条例》第二十二条
有下列情形之一的，保险公司在机动车交通事故责任强制保险责任限额范围内垫付抢救费用，并有权向致害人追偿：
（一）驾驶人未取得驾驶资格或者醉酒的；
（二）被保险机动车被盗抢期间肇事的；
（三）被保险人故意制造道路交通事故的。
有前款所列情形之一，发生道路交通事故的，造成受害人的财产损失，保险公司不承担赔偿责任。