在处理因驾驶员酒驾而引发的保险公司索赔案件过程中，保险公司追偿的起诉程序通常包括以下步骤：首先，保险公司需要预备充足且确凿的相关证据，例如保险合同、支付给受损方赔偿金额的收据或凭证以及与驾驶员酒驾行为相关的证明文件等等。
其次，保险公司需向具有相应司法管辖权的法院递交正式的民事起诉书及所收集的各种证据资料。
在法院收到并审理此案之后，将会按照流程向被告发出传票，预定案件审理的具体日期。
在随后的法庭审理环节，双方当事人需逐项检视并出示各自的证据，展开质证与辩论。
最后，法院将依据事实依据和现行法律法规公正裁定并公开宣判该案。

《机动车交通事故责任强制保险条例》第二十二条
有下列情形之一的，保险公司在机动车交通事故责任强制保险责任限额范围内垫付抢救费用，并有权向致害人追偿：
（一）驾驶人未取得驾驶资格或者醉酒的；
（二）被保险机动车被盗抢期间肇事的；
（三）被保险人故意制造道路交通事故的。
有前款所列情形之一，发生道路交通事故的，造成受害人的财产损失，保险公司不承担赔偿责任。