通常而言，私下和解所达成的约定，若其法律有效性得到确认并且已由双方完成履行任务，那么理论上来讲是没有权利再次提起诉讼的。
然而，下列几种情况下仍然具备重新启动诉讼的可能：
首先，如果私下和解协议违反了相关法律规定，例如，存在欺诈行为或受到威逼等问题的话，协议将被判定为无效或者可撤销；
其次，当私下和解协议明显不公平时，也可以考虑重新提起诉讼；
最后，如果在签订私下和解协议之后，又出现了新的伤害或者损失事项，原来的协议并未能包括这些内容，同样有理由要求发起诉讼。
需要特别强调的是，对于以上状况，当事人需要提供充足的证据来证实自身观点的真实性，同时必须保证诉讼请求提出的时间在法定期限之内。
若您对自己是否有权重新提起诉讼感到疑惑，强烈建议您寻求专业的律师机构进行深入咨询，以便更好地评估和分析各类事实情况。