在公司法上，根据相关规定，分公司所欠下的债务责任通常应由总公司来承担。
之所以有这样的规定，是基于分公司并不具备独立的法人资格，因此它在民事关系中所产生的法律责任自然也应该由总公司来承担。
然而，在实践操作过程中，分公司有时会面临需要用自己的资产先行偿还债务的情况，如果其自有财产无法完全覆盖债务，那么剩余的部分则需由总公司进行补充。

《中华人民共和国民法典》第七十四条
法人可以依法设立分支机构。法律、行政法规规定分支机构应当登记的，依照其规定。
分支机构以自己的名义从事民事活动，产生的民事责任由法人承担；也可以先以该分支机构管理的财产承担，不足以承担的，由法人承担。