当法院宣判裁决方须承担抚养费用而对方拒绝支付时，您有权向该法院提出强制执行申请。
在这种情况下，法院将采取一系列必要的司法程序和手段来确保抚养费用得到完全执行，如查阅及冻结对方银行存款等信息，或者查封、扣押其财产等。
为此，请您务必提前准备好与此相关的法律裁决文件以及其他相关证明资料。
此外，为了更加有效地维护自身权益，您还可以请求法院对拒不履行支付责任的对方施加罚款、拘留等人身限制性措施。

《中华人民共和国民事诉讼法》第二百四十七条
发生法律效力的民事判决、裁定，当事人必须履行。一方拒绝履行的，对方当事人可以向人民法院申请执行，也可以由审判员移送执行员执行。
调解书和其他应当由人民法院执行的法律文书，当事人必须履行。一方拒绝履行的，对方当事人可以向人民法院申请执行。