首先，您应当依法向具有管辖权的法院提起有关变更抚养权之诉；
其次，您需要认真准备与案件有关的充分证据，例如能够证明对方在抚养子女过程中存在不有利于其健康成长的各种因素等等；
法院将依据当事人双方所提交的证据以及实际情况，对案情展开深入的审查和评估后作出相应的判决。
至于诉讼费用的问题，通常情况下，败诉的一方需承担全部或部分诉讼费用，但作为原告方，您仍需要预先支付一定比例的费用。

《诉讼费用交纳办法》第二十九条
诉讼费用由败诉方负担，胜诉方自愿承担的除外。
部分胜诉、部分败诉的，人民法院根据案件的具体情况决定当事人各自负担的诉讼费用数额。
共同诉讼当事人败诉的，人民法院根据其对诉讼标的的利害关系，决定当事人各自负担的诉讼费用数额。