倘若在离婚之后，其中一方向子女断然拒绝支付抚养费用，那么另一方应首先寻求与对方进行沟通和协商的可能性，以便让他们明白自身应尽到的抚养责任。
然而，若是经过深入商榷依然未能获得满意答复，那么另一方可通过法律途径向法院提交申诉，请求对方承担起支付抚养费用的义务。
在法院审理过程中，将尤其注重案件具体细节并依据实际状况作出裁决，假如被申请方仍然无视法庭的判决，法院有权采取强制执行措施，如冻结其银行账户、查封其财产等手段以确保判决得以落实。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条
离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。
前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。