依据中华人民共和国现行《民事诉讼法》第二百四十七条之规定，若司法裁判明确规定一方需承担抚养费用的给付责任，而该方却拒不履行，另一方有权依照法律程序向人民法院申请强制执行。
如此，便确立了只要法院对抚养费用支付问题做出的最终判定具备法律效力，负有支付义务的一方未按判决履行义务，则享有权利的一方（常常指代为子女或者代表子女权益的人士）可依法向作出判决的基层法院递交执行申请，请求由法院采取强制手段完成执行过程。
在实际操作环节，主张权利者应向法院递交书面的执行申请，并附上与此相关的证据资料以及如判决定本之类的文件。
接收到执行申请之后，法院将依法对被执行人的财务状况展开全面调查，并根据实际情况采取相应的执行措施，例如冻结银行账户、查封及拍卖财产等，以确保抚养费用得以顺利支付。
倘若被执行人仍未能履行支付义务，法院甚至可能将其纳入失信被执行人名单，对其实施高消费行为的限制等措施。

《中华人民共和国民事诉讼法》第二百四十七条
发生法律效力的民事判决、裁定，当事人必须履行。一方拒绝履行的，对方当事人可以向人民法院申请执行，也可以由审判员移送执行员执行。
调解书和其他应当由人民法院执行的法律文书，当事人必须履行。一方拒绝履行的，对方当事人可以向人民法院申请执行。