若当事人双方在离婚之后，抚养方拒绝承担其应当抚育子女的责任，对此情况的处理方式可从以下两个方面进行:
首先，若经法院判决已将孩子的监护权交给对方，而对方则未能依照法律规定履行其义务，此时当事人可向法院提起诉讼，请求法院采取强制措施令其执行。
其次，倘若由当事人亲自抚养孩子，对方却未按照协议或判决每月支付抚养费用，在此种情况下，当事人有权发起诉讼，以追究对方对应的抚养费用。

《民法典》第一千零八十五条
离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。
前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。