在涉及出轨并拒绝承认私生子的案例中，仍然有权向可能存在的父母索取抚养费用。
若孩子的父亲或母亲否认与之存在亲子关系，当事人有权提起诉讼直至法院明确判定亲子关系是否存在。
在此过程中，如对方无法提供反对性证据且又拒绝接受基因测试以证明其关系不存在时，法院将可能确认亲子关系确实存在。
一旦确认了私生子与其生父或生母之间的亲子关系，则此子女依法享有向他们的父母索要抚养费的权利。

《民法典》第一千零七十一条
非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。
不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。