再婚后的另一方是孩子的监护人。如果未成年，双方已经形成抚养关系，继父或继母可以成为监护人。离婚后，若孩子跟父亲一起生活，跟继母形成继父母子女关系，这样继母享有的不是监护权，而是监护义务。义务是必须履行的。这样的监护义务是无法放弃的。

《民法典》第二十七条
父母是未成年子女的监护人。
未成年人的父母已经死亡或者没有监护能力的，由下列有监护能力的人按顺序担任监护人：
（一）祖父母、外祖父母；
（二）兄、姐；
（三）其他愿意担任监护人的个人或者组织，但是须经未成年人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意。
第一千零七十二条
继父母与继子女间，不得虐待或者歧视。
继父或者继母和受其抚养教育的继子女间的权利义务关系，适用本法关于父母子女关系的规定。