双方协商一致的可以。
若母亲丢下孩子让孩子无人照管导致伤害，可构成遗弃罪。
女方生下孩子丢给男方，有男方在照顾，就未构成遗弃罪，但男方可向女方索要孩子必须的生活费用（夫妻一人一半），这是法律支持的。

《民法典》第二十六条
父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。
第一千零八十五条
离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；
协议不成的，由人民法院判决。