遗产继承制度在法律层面上的具体规定主要包含以下几个方面：
首先，当继承事宜正式启动之后，应当遵循法定继承的原则，由第一顺位继承人进行权益分配；
若不存在第一顺位继承人，然而就包括无任何第一顺位继承人、虽有第一顺位继承人却悉数选择放弃继承权、有第一顺位继承人但已全部丧失继承权等情况时，则将由第二顺位继承人接手处理相关事务。
其次，若被继承人在生前已经留下了明确的遗嘱，那么便应根据遗嘱中的内容来执行继承，或者依据遗赠扶养协议的约定来处理遗产；
反之，若未留有遗嘱或协议，则应依照法律规定的程序和方式进行遗产的分配。

《中华人民共和国民法典》第一千一百二十三条
继承开始后，按照法定继承办理；
有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；
有遗赠扶养协议的，按照协议办理。
第一千一百二十七条
遗产按照下列顺序继承：
（一）第一顺序：
配偶、子女、父母；
（二）第二顺序：
兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；
没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。
本编所称子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。
本编所称父母，包括生父母、养父母和有扶养关系的继父母。
本编所称兄弟姐妹，包括同父母的兄弟姐妹、同父异母或者同母异父的兄弟姐妹、养兄弟姐妹、有扶养关系的继兄弟姐妹。
第一千一百三十条
同一顺序继承人继承遗产的份额，一般应当均等。
对生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人，分配遗产时，应当予以照顾。
对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，分配遗产时，可以多分。
有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，分配遗产时，应当不分或者少分。
继承人协商同意的，也可以不均等。