离婚证和离婚协议丢失补办的方式：
一般情况下，遗失人可以持户口簿、身份证等材料，依法向原办理婚姻登记的机关或者一方当事人常住户口所在地的婚姻登记机关申请补领。
经前述机关审查，确认情况属实的，应予以补发。

《婚姻登记条例》第十五条
婚姻登记机关应当建立婚姻登记档案。
婚姻登记档案应当长期保管。
具体管理办法由国务院民政部门会同国家档案管理部门规定。
第十七条
结婚证、离婚证遗失或者损毁的，当事人可以持户口簿、身份证向原办理婚姻登记的机关或者一方当事人常住户口所在地的婚姻登记机关申请补领。
婚姻登记机关对当事人的婚姻登记档案进行查证，确认属实的，应当为当事人补发结婚证、离婚证。