在责任判定明确之后，若对方未能及时通报其所投保险，您可向法院提起诉讼，追究肇事者及其所驾驶车辆的保险公司的相关责任，并请求法庭裁决侵权损害赔偿事宜。以下是具体操作方式：
首先，作为车主，您有权向对方的保险公司提出赔偿申请，即所谓的“代位求偿”。保险公司应在接到被保险人提交的相关证明文件及资料之日起的五个工作日内，对该事件是否属于保险责任范围做出明确的核定，并将核定结果书面通知被保险人；
其次，您也可以选择前往具有管辖权的法院，通过法律诉讼途径来维护自己的合法权益；
再次，在涉及交通肇事的情况下，责任判定通常由司机承担，但车主与保险公司则可能成为关联方，因此，您可以同时将他们列为被告，共同参与诉讼；
此外，如果事故责任认定书尚未签署，而对方却采取无赖行为，您可以要求负责处理事故的交警按照相关法规的简易程序进行处理；
最后，如果交强险无法完全覆盖赔偿金额，且根据交警的事故责任认定书，肇事者负有全部责任，那么您可以据此向法院提起诉讼，要求肇事者承担相应的赔偿责任。

《机动车交通事故责任强制保险条例》
第二十七条被保险机动车发生道路交通事故，被保险人或者受害人通知保险公司的，保险公司应当立即给予答复，告知被保险人或者受害人具体的赔偿程序等有关事项。
第二十九条保险公司应当自收到被保险人提供的证明和资料之日起5日内，对是否属于保险责任作出核定，并将结果通知被保险人；对不属于保险责任的，应当书面说明理由；对属于保险责任的，在与被保险人达成赔偿保险金的协议后10日内，赔偿保险金。
《最高人民法院关于审理道路交通事故损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》
第十三条同时投保机动车第三者责任强制保险（以下简称“交强险”）和第三者责任商业保险（以下简称“商业三者险”）的机动车发生交通事故造成损害，当事人同时起诉侵权人和保险公司的，人民法院应当依照民法典第一千二百一十三条的规定，确定赔偿责任。
被侵权人或者其近亲属请求承保交强险的保险公司优先赔偿精神损害的，人民法院应予支持。