当遇到非机动车全责且不肯赔偿的情况时，我们可以采取以下步骤来解决。
其一，与对方进行友好协商。
这是解决问题的第一步，在协商过程中，要保持冷静和理智，清晰地表达自己的诉求和损失情况。
同时，一定要保留好协商过程的证据，比如通过录音设备记录下双方的对话，或者保存好聊天记录等，这些证据将在后续的处理过程中起到重要作用。
其二，如果协商无果，我们可以向交通事故发生地的基层人民调解组织申请调解。
在调解过程中，要明确各方的责任以及应赔偿的金额，调解人员会根据相关法律法规和实际情况进行调解。
通过调解，有可能促使双方达成和解，解决赔偿问题。
其三，若调解仍然无法解决问题，我们可以向交通事故发生地的人民法院提起民事诉讼。
在起诉时，必须准备好相关的证据，像交通事故认定书，它能明确事故的责任划分；还有医疗费用票据等，这些都是证明我们损失的重要依据。
法院会依据事实和法律进行公正的判决。
当法院的判决生效后，如果对方仍不履行赔偿义务，我们可以向法院申请强制执行。
法院会采取一系列措施，如查封对方的财产、扣押其物品或者拍卖其财产等，以此来强制对方履行赔偿义务，确保我们的合法权益得到保障。

案情回顾:

小朱驾驶机动车与小李骑行的非机动车发生交通事故，经认定小李全责，但小李不肯赔偿。小朱先与小李友好协商并保留证据，协商无果后向事故发生地基层调解组织申请调解，仍未解决。小朱又向该地人民法院提起民事诉讼，判决生效后小李还不履行赔偿义务。

案情分析:

1、小朱与小李协商时保留证据是明智的，这有助于后续处理。
2、调解组织调解依据责任与实际情况，未能成功表明双方分歧较大。
3、法院判决依据交通事故认定书等证据，判决生效后小朱有权申请强制执行以维护权益。