在债务人去世之后，其遗留财产应优先用于偿还其生前所负之债。
若债务人无继承人或遗赠接受人，依据我国现行有效的《中华人民共和国民法典》第一千一百六十条的明确规定，此时其遗产将依法归属于国家，并用以支持公益事业的发展；
而若该债务人在生前为集体所有制组织的成员，则其遗产将归属至所属的集体所有制组织。
因此，面对此类情形，债务人留下的遗产理应优先用于清偿其生前所负的各类债务，然后再考虑对剩余财产的处置问题。
然而需要注意的是，若遗产数额不足以完全覆盖债务，那么债权人很有可能无法获得全额的偿付款项。

《中华人民共和国民法典》第一千一百六十条
无人继承又无人受遗赠的遗产，归国家所有，用于公益事业；死者生前是集体所有制组织成员的，归所在集体所有制组织所有。