若开州的公民或法人存在拖欠债务的情况，他们可选择通过以下合法途径来主张自身权益，追讨所属于自己的那部分债权：
首先是根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二十二条的相关规定，向被告所在地的人民法院提交民事诉讼请求；
其次，若被告的实际居所地与其主要生活区域并不相同，那么他们也有权向被告的主要生活区域所在的人民法院提起诉讼。
接下来，根据《中华人民共和国民事诉讼法》第一百二十三条的规定，在向人民法院提交起诉状的同时，应按照被告的数量准备相应份数的副本。
若在书写起诉状过程中遇到困难，也可选择以口头形式进行起诉，由人民法院记录在案，并通知对方当事人。
此外，根据《中华人民共和国民事诉讼法》第一百二十五条的规定，人民法院在审理民事纠纷案件时，如认为适宜进行调解，将会先尝试进行调解工作，除非当事人明确表示不愿接受调解。
最后，若被告未能依照判决书、裁定书以及其他法律文书中所指定的期限履行其支付金钱的义务，则需承担双倍支付迟延履行期间的债务利息的责任；
而对于未能按照判决书、裁定书及其他法律文书所指定的期限履行其他义务的被告，则需要支付相应的迟延履行金（《中华人民共和国民事诉讼法》第二百六十条）。
通过以上法律程序，债权人便能依法维护自身权益，追回所欠款项。
倘若债务人仍拒不履行法院判决，债权人有权申请法院采取强制执行措施。

《中华人民共和国民事诉讼法》第二十二条
对公民提起的民事诉讼，由被告住所地人民法院管辖；被告住所地与经常居住地不一致的，由经常居住地人民法院管辖。
对法人或者其他组织提起的民事诉讼，由被告住所地人民法院管辖。
同一诉讼的几个被告住所地、经常居住地在两个以上人民法院辖区的，各该人民法院都有管辖权。