关于能否起诉死亡人的配偶偿还其债务，具体需根据不同情况进行分析，以下为你详细阐述：
一、夫妻共同债务情况
当债务属于夫妻共同债务时，可以起诉配偶要求其偿还。
夫妻共同债务通常是在夫妻关系存续期间，为满足夫妻共同生活需要所产生的。
二、个人债务情况
如果债务是死者个人所负，并非用于夫妻共同生活，那就不能简单地要求配偶偿还。
此时，应当用死者的遗产来偿还该债务。
如果配偶继承了死者的遗产，那么需要在继承遗产的范围内对该债务承担偿还责任。
也就是说，继承了多少遗产，就在这个范围内偿还债务。
而若配偶放弃继承遗产，一般情况下就无需对该债务承担偿还责任。

案情回顾:

小朱去世后，留下一些债务。其中部分是夫妻共同生活期间为家庭日常开销所欠，还有部分是小朱个人赌博欠下的赌债。小朱的债权人小李要求小朱的配偶小丽偿还所有债务，小丽则表示只愿意偿还部分，双方因此产生争议。

案情分析:

1、对于夫妻共同生活期间为家庭日常开销所欠债务，属于夫妻共同债务。小丽作为配偶，需要承担连带偿还责任，因为这是为满足夫妻共同生活需要产生的债务。
2、小朱因赌博欠下的赌债属于其个人债务。若小丽继承了小朱的遗产，需在继承遗产范围内对该债务承担偿还责任；若小丽放弃继承遗产，一般无需对该赌债承担偿还责任。