在遭遇医疗事故责任纠纷时，您可以采取以下措施进行协商和处理:
首先，您可以选择委托医院内部专门负责医疗服务质量监控的部门或专职人员来协助解决这一问题;
其次，若双方无法自行达成折衷方案或者纠纷涉及到的事项需要市卫生行政主管部分进行协调与裁决的话，那么建议您先向医院相关职能科室递交一份医疗纠纷协调处理委托书，并得到医院院长的签名确认之后，将这份委托书交至市卫生行政主管部分。
具体而言，这种情况下的处理工作将由市卫生行政主管部分下属的医政科负责全权负责和执行。

《民法典》第一千二百一十八条
患者在诊疗活动中受到损害，医疗机构或者其医务人员有过错的，由医疗机构承担赔偿责任。