按照中国相关法律法规规定，对于犯下诽谤罪行者，其应承担的具体刑事责任包括但不限于三年以下有期徒刑、拘役、管制或剥夺政治权利等。
诽谤罪，即故意捏造并散布虚假事实，以达到贬低他人人格及破坏他人良好声誉之目的的违法行为。
若犯罪情节轻微，行为人有可能面临较轻的刑罚，例如管制或拘役；
然而，若情节严重，则可能被处以三年以下有期徒刑。
在实际审判过程中，法院将全面考量诽谤行为所采用的手段、影响范围以及对受害人所带来的伤害等多方面因素，从而作出公正合理的判决。

《中华人民共和国刑法》第二百四十六条
【侮辱罪、诽谤罪】以暴力或者其他方法公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。
前款罪，告诉的才处理，但是严重危害社会秩序和国家利益的除外。
通过信息网络实施第一款规定的行为，被害人向人民法院告诉，但提供证据确有困难的，人民法院可以要求公安机关提供协助。