在幼儿园时期，孩童在园内摔倒是否具有向幼儿园主张赔偿的权利，必须根据具体情况进行审慎决定。
当幼儿园未能充分履行其教育和管理之责，最终导致孩童身体受损时，家长有权向幼儿园提出赔偿请求。
例如，若幼儿园所提供的设施存在明显的安全隐患，或教师未能及时关注并照顾好孩童等情况下，家长便有理由提出赔偿诉求。
然而，若事故系由孩童自身行为不当引发，且幼儿园已经尽到了其应尽的职责与义务，那么家长可能无法成功地向幼儿园索取赔偿。

《中华人民共和国民法典》第一千一百九十九条
无民事行为能力人在幼儿园、学校或者其他教育机构学习、生活期间受到人身损害的，幼儿园、学校或者其他教育机构应当承担侵权责任；但是，能够证明尽到教育、管理职责的，不承担侵权责任。