关于起诉保险公司过程中律师费的承担主体问题，通常情况下，律师费将首先由聘请方先行支付。
然而，如若诉讼结果为原告取得胜利，或者法院判定部分或全部的律师费应由被告方承担，那么这笔费用将会转由被告方进行支付。律师费作为律师提供法律服务所获得的合理报酬，在我国法律体系中遵循着“请律师者自行承担律师费用”的基本原则，除非有明确的法律条款或是相关法律解释进行特别规定，亦或是原、被告双方自愿签订协议，否则律师费一般不会由败诉方来承担。

《中华人民共和国律师法》第五十九条律师收费办法，由国务院价格主管部门会同国务院司法行政部门制定。
《律师服务收费管理办法》第十条律师服务收费可以根据不同的服务内容，采取计件收费、按标的额比例收费和计时收费等方式。计件收费一般适用于不涉及财产关系的法律事务；按标的额比例收费适用于涉及财产关系的法律事务；计时收费可适用于全部法律事务。