假如您面临轻度伤害案件却遭遇对方拒绝支付相关医药费用的困境，首先建议你尝试与对方进行友好协商，明确地向他们阐述他们应当承担的法律责任。
然而，若经过多次努力仍无法达成共识，那么您便有权利向当地法院提出民事诉讼请求。
在这个过程中，您必须充分准备相关的证据材料，例如详细的医疗费用清单、权威的诊断证明以及与事故有关的其他关键性证据等等，这些都将有助于证明您所遭受的实际损失以及对方在此次事件中所负有的责任。
最后，法院将会依据双方提供的证据以及现行的法律法规，公正合理地作出最终裁决。

《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条
侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。