倘若在私下解决交通事故纠纷之后，对方并未按约定支付相应的赔偿款，那么您首先应当慎重考虑，尝试通过跟进对话的方式来重新同对方进行协商，明确地告诉他们未能履行赔偿义务所可能带来的法律风险和严重后果。
假如经过多次努力仍无法达成共识，那么您应该妥善保存所有与私了相关的重要证据，例如书面协议、详细的聊天记录以及事故现场的照片等等。
接下来，您需要向当地的法院提交诉状，请求法院责令对方按照约定履行赔偿责任。
在整个诉讼过程中，所提供的证据将会对案件的审理结果产生决定性的影响。

《中华人民共和国民法典》第一百八十八条
向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。法律另有规定的，依照其规定。
诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。法律另有规定的，依照其规定。但是，自权利受到损害之日起超过二十年的，人民法院不予保护，有特殊情况的，人民法院可以根据权利人的申请决定延长。