非婚生子女索要赔偿款，主要涉及以下两个重要方面：
1.抚养费：
非婚生子女和婚生子女在法律上享有同等的权利。
这意味着，不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，有责任和义务负担孩子成长所需的抚养费。
在具体索要抚养费时，有多种方式可供选择。
首先，可以尝试与对方进行友好协商。
双方可以就抚养费的具体数额、支付的方式（比如是按月支付还是一次性支付）以及支付的期限（例如支付到孩子年满多少周岁）等问题进行充分的沟通和讨论，争取达成一致意见。
但如果双方无法通过协商解决问题，那么非婚生子女一方可以向法院提起诉讼。
法院在确定抚养费数额时，会综合考虑多方面因素，包括子女的实际生活需要，比如孩子的教育费用、日常开销等；父母双方的负担能力，例如双方的收入水平、财产状况等；以及当地的实际生活水平等，以此来做出公平合理的判决。
2.损害赔偿（特定情形）：
在某些特定情况下，比如对方对孩子造成了人身伤害，非婚生子女一方有权要求对方给予相应的损害赔偿。
在这种情况下，需要收集相关的有力证据，比如孩子受伤后的医疗费用单据，这能清楚地显示治疗所花费的具体金额；还有伤情鉴定报告，可以明确孩子受伤的程度等。
收集好这些证据后，就可以向法院起诉，要求对方承担赔偿责任。
赔偿范围通常会涵盖医疗费、护理费等实际发生的损失。

案情回顾:

小朱与小李非婚生育一女小静。后小朱拒绝支付小静抚养费，且一次争吵中致使小静受伤。小李先尝试与小朱协商抚养费及赔偿事宜，遭拒后向法院起诉，要求小朱支付抚养费并承担损害赔偿责任，争议焦点在于抚养费数额及赔偿范围的确定。

案情分析:

1、关于抚养费，非婚生子女小静与婚生子女享有同等权利，小朱作为生父有支付抚养费的义务。法院会综合小静实际生活需要、小朱负担能力及当地生活水平等因素确定抚养费数额。
2、对于损害赔偿，因小朱对小静造成人身伤害，小李有权要求赔偿。其提供的医疗费用单据、伤情鉴定报告等证据，将作为确定赔偿范围（涵盖医疗费、护理费等）的依据。