如果孩子母亲弃养孩子，可按以下不同情况妥善处理：
一、监护权问题
父母对未成年子女负有法定的监护义务，这是法律明确规定的。
当母亲弃养孩子时，父亲可以通过向法院起诉的方式，来请求变更孩子的抚养权，争取由自己单独抚养孩子。
在这个过程中，父亲需要准备充分的证据，比如母亲弃养行为的相关证明材料，像母亲长时间不与孩子联系、不照顾孩子生活等方面的证据。
这样做的目的是为了保障孩子能够拥有稳定的生活环境，正常地生活和健康地成长。
二、抚养费用
抚养孩子必然需要一定的经济支持，这涉及到孩子生活的方方面面。
即便母亲弃养孩子，父亲依然有权要求母亲支付孩子的抚养费。
如果母亲拒绝支付，父亲可以向法院提起诉讼。
法院会根据孩子的实际生活需要、父母双方的经济状况等多方面因素，来判决母亲承担相应的抚养费用，以确保孩子的基本生活需求得到满足。
三、法律责任
母亲弃养孩子情节恶劣的，有可能构成遗弃罪。
按照《刑法》规定，对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务却拒绝扶养，且情节恶劣的，将处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。
在这种情况下，父亲或其他相关人员可向公安机关报案，依法追究母亲的刑事责任，维护孩子的合法权益。

案情回顾:

小朱和小丽育有一子。小丽突然离家出走，长时间不与孩子联系，也不照顾孩子生活，似有弃养之意。小朱欲变更抚养权，小丽却拒绝支付抚养费，双方产生争议，且小丽弃养行为是否构成犯罪也存争议。

案情分析:

1、关于监护权问题，小朱可向法院起诉请求变更抚养权，需准备如小丽长时间不联系、不照顾孩子等弃养行为的证明材料，以保障孩子有稳定生活环境。
2、在抚养费用方面，小朱有权要求小丽支付抚养费，若小丽拒绝，小朱可起诉，法院会综合多种因素判决小丽承担相应费用。
3、若小丽弃养情节恶劣，可能构成遗弃罪，小朱可报案，依法追究其刑事责任。