非婚生子女在法律上享有一系列重要权利，具体如下：
一、生命健康权
非婚生子女的生命安全和身体健康与婚生子女一样，受到法律的严格保护。
这意味着无论是在日常生活中，还是在面临各种可能的危险情境时，他们的生命都不容被非法侵害。
比如，在医疗救治方面，他们享有平等的获得医疗资源的权利，任何医疗机构都不能因为其非婚生的身份而拒绝提供必要的治疗。
二、受抚养权
1.不直接抚养非婚生子女的生父或生母，有责任负担子女的生活费和教育费，直至子女能够独立生活。
这里的生活费涵盖了子女日常生活的各项开支，如食品、住宿等；教育费则包括从学前教育到高等教育等各个阶段的相关费用。
2.父母对非婚生子女同样有着抚养、教育和保护的义务，要关心他们的成长，引导他们树立正确的价值观。
三、继承权
非婚生子女与婚生子女享有同等的继承权。
在法定继承中，他们可作为第一顺序继承人继承父母的遗产，其继承份额与婚生子女相同。
四、姓氏选择权
非婚生子女可以根据自身意愿或父母协商，选择随父姓或者随母姓。
我国法律明确规定，非婚生子女与婚生子女权利同等，任何组织或个人不得危害和歧视他们。
若其合法权益受侵害，本人或法定代理人可依法寻求法律救济。

案情回顾:

小朱与小李未婚生育一子小胡。小胡生病就医时，某医疗机构因小胡非婚生身份拒绝治疗。小朱外出打工后失联，小李独自抚养艰难，且小朱去世后，其亲属拒绝小胡继承遗产，还对其进行歧视。此外，在姓氏选择上也存在争议。

案情分析:

1、医疗机构拒绝治疗侵害了小胡的生命健康权，法律规定非婚生子女享有平等获得医疗资源权利，医疗机构行为违法。
2、小朱失联，其作为生父应负担小胡生活费和教育费，其不履行抚养责任的行为错误。
3、小朱亲属拒绝小胡继承遗产违反法律，非婚生子女与婚生子女有同等继承权。
4、小胡的姓氏应根据其意愿或父母协商确定，他人不得干涉。