一、法律后果
在离婚时选择放弃抚养权，意味着离婚后将不会直接抚养子女。
不过，这并不代表其抚养责任的终止。
即便不直接照顾孩子，仍需承担抚养义务，其中支付抚养费是重要的一项。
抚养费的数额确定并非随意为之，而是要综合多方面因素。
首先要考虑子女的实际需要，比如孩子的生活、教育、医疗等各项费用支出。
其次，父母双方的负担能力也至关重要，收入高的一方可能需要承担相对较多的费用。
同时，当地的实际生活水平也会对抚养费数额产生影响，经济发达地区的抚养费标准通常会相对较高。
二、探视权
放弃抚养权的一方，依法享有探视子女的权利。
探视权是保障父母与子女情感联系的重要方式。
具体的探视方式和时间，双方可以通过友好协商来确定，例如每周探视几次、节假日如何安排探视等。
若双方无法协商达成一致意见，那么就需要由法院根据具体情况进行判决，法院会充分考虑孩子的意愿以及双方的实际情况来作出合理安排。
三、抚养权变更
在后续的生活中，如果出现法定情形，放弃抚养权的一方可以向法院申请变更抚养权。
比如，直接抚养子女的一方患上严重疾病，可能无法继续为孩子提供良好的生活和照顾；或者不尽抚养义务，对孩子的成长产生不利影响等。
法院在审理此类案件时，会始终遵循有利于子女身心健康和保障子女合法权益的原则进行判决。

案情回顾:

小朱和小李离婚时，小朱放弃抚养权，后双方就抚养费数额、探视方式产生争议，且之后小朱想变更抚养权，双方矛盾升级。

案情分析:

1、关于抚养费，应综合子女实际需要、父母负担能力及当地生活水平确定数额，小朱虽放弃抚养权，但仍需按标准支付抚养费。
2、探视权方面，双方应先协商探视方式和时间，协商不成由法院根据孩子意愿和双方实际情况判决。
3、抚养权变更上，若出现法定情形，小朱可申请变更，法院会遵循有利于子女身心健康和保障其合法权益原则判决。