在我国，当涉及到不抚养孩子的情况时，可能构成的罪名主要是遗弃罪。
下面为你进行详细分析：
1.主体条件方面：
遗弃罪的主体有明确界定，必须是对被遗弃者负有法律上的扶养义务，同时还得具备抚养能力的人。
具体来说，孩子的父母毫无疑问对孩子负有抚养义务，这是基于血缘关系和法律规定的。
此外，在特定情况下，祖父母、外祖父母等也有抚养孩子的责任。
2.行为表现方面：
构成遗弃罪需要有遗弃行为。
也就是说，对于那些年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的孩子，负有扶养义务的人却拒绝履行扶养责任。
比如，有些父母明明有足够的经济能力和条件抚养自己年幼的孩子，却因为各种自私的原因，将孩子丢弃在无人照顾的偏僻地方，使孩子的生命安全和基本生活都得不到保障。
3.情节恶劣方面：
并非所有的遗弃行为都构成犯罪，还需要达到情节恶劣的程度。
比如，因为遗弃行为直接致使孩子重伤、死亡，或者孩子因被遗弃而生活无着，只能四处流离失所等严重后果，这种情况下才构成遗弃罪。

如果只是一般的不履行抚养义务，像未按时支付抚养费这类情况，通常属于民事纠纷范畴。
在这种情况下，当事人可以通过民事诉讼的方式，要求对方履行抚养义务并支付相应的抚养费。

案情回顾:

小朱和小丽育有一子，小朱经济条件良好却因个人私欲，将年幼孩子丢弃在偏僻处后失联。孩子被发现时生命垂危，经救治脱离危险。小丽得知后起诉小朱，认为其构成遗弃罪，小朱辩称只是一时情绪激动，不认为自己犯罪。

案情分析:

1、主体条件上，小朱作为孩子父亲，对孩子负有法律上的抚养义务，且有抚养能力，符合遗弃罪主体要求。
2、行为表现上，小朱将年幼无独立生活能力的孩子丢弃在偏僻处，使其生命安全和基本生活得不到保障，存在遗弃行为。
3、情节恶劣方面，小朱的遗弃行为致使孩子生命垂危，达到情节恶劣程度，构成遗弃罪。若只是未按时付抚养费等一般不履行抚养义务，属民事纠纷。