抚养权纠纷的管辖部门，要依据具体情形来确定，以下为你详细说明：
1.协议离婚后抚养权纠纷：
当夫妻双方通过协议方式离婚后，若在后续过程中，对于孩子抚养权的变更等相关事宜无法协商达成一致意见，这种情况下，就需要通过法律途径来解决。
具体而言，当事人可以向被告住所地的人民法院提起诉讼。
这里的被告住所地，一般是指被告的户籍所在地。
如果被告的经常居住地与住所地不一致，那就向其经常居住地的人民法院起诉。
法院会依据相关法律规定和实际情况，对抚养权纠纷作出公正的裁决。
2.诉讼离婚后抚养权纠纷：
夫妻通过诉讼方式离婚后，若又出现抚养权方面的纠纷，同样是向被告住所地或经常居住地的法院提起诉讼。
特别是涉及未成年子女抚养问题时，遵循“原告就被告”的一般管辖原则。
这是为了确保司法程序的公正和高效，便于法院查明事实，作出合理的判决。
3.非婚生子女抚养权纠纷：
对于非婚生子女的抚养权纠纷，当事人应向被告住所地或经常居住地的基层人民法院提起诉讼，由法院根据具体情况来判定抚养权的归属。
需要注意的是，通常情况下，抚养权的归属主要是由法院判定。
像民政部门等相关部门，在离婚登记等程序中，会对抚养权协议进行备案等操作，但一般不会直接处理抚养权的争议纠纷，最终的裁决还是由人民法院根据具体情况和法律规定作出。

案情回顾:

小朱和小李协议离婚，约定孩子抚养权归小朱。后小李想变更抚养权，双方协商不成产生纠纷。此外，小胡和小丽诉讼离婚后，也因抚养权问题再起争执。还有小静与他人有非婚生子女，在抚养权归属上存在争议。争议点在于这些抚养权纠纷该由哪个部门管辖。

案情分析:

1、小朱和小李协议离婚后抚养权纠纷，应向被告住所地人民法院提起诉讼，若被告经常居住地与住所地不一致，则向经常居住地法院起诉，法院会依法裁决。
2、小胡和小丽诉讼离婚后抚养权纠纷，同样向被告住所地或经常居住地法院起诉，涉及未成年子女抚养遵循“原告就被告”原则。
3、小静非婚生子女抚养权纠纷，应向被告住所地或经常居住地基层人民法院起诉，由法院判定归属。