在涉及子女抚养权的问题上，如果双方无法达成一致意见，那么通过起诉来争取抚养权是一种可行的法律途径。
以下为你详细分析：
一、适用情形
当父母双方在子女抚养权归属问题上存在分歧，且经过协商仍不能达成一致时，任何一方均有权向法院提起诉讼，由法院依法作出判决。
二、考虑因素
法院在判定抚养权归属时，会全面综合多方面的因素。
首先是子女的年龄，一般来说，两周岁以下的子女，在没有特殊情况下，通常会判决随母方生活，因为这个阶段的孩子更需要母亲的照顾。
其次，父母双方的抚养能力和抚养条件也是重要考量因素，这包括经济收入是否稳定、居住环境是否良好等。
此外，当子女年满八周岁时，法院会尊重其真实意愿。
三、证据准备
若要通过起诉争取抚养权，充分的证据准备是至关重要的。

案情回顾:

小朱和小李离婚时，就孩子小静的抚养权问题无法达成一致意见。小朱称自己收入稳定能给小静好生活，小李则强调自己陪伴孩子时间更多。离婚后，小朱发现小李患有严重疾病可能影响照顾小静，遂起诉争取小静抚养权。

案情分析:

1、小朱和小李在离婚时对抚养权协商不成，符合起诉争取抚养权的适用情形，小朱在发现小李出现不利于孩子成长的情况时有权起诉。
2、法院判定时会综合考虑，小静若两周岁以下一般会倾向判归小李，但小李患病会影响判定。若小静年满八周岁，还会尊重其真实意愿，小朱需准备好收入、居住环境等相关证据。