根据法律条款，非婚生子女与婚生子女在权利方面是完全等同的。
这其中，抚养费问题受到法律的严密保护。
法律清晰地规定，父母对未成年的子女有着抚养、教育以及保护的责任。
倘若其中一方未能履行抚养义务，那么另一方就具备了通过诉讼手段来维护自身及子女权益的权利。
在具体操作中，法院会综合多方面因素来确定抚养费的数额和支付方式。
当一方决定起诉要求支付私生子的抚养费时，必须提供相关的证据，诸如能够证明亲子关系的医学鉴定报告等，以及对方确实未履行抚养义务的具体事实等。
法院会秉持公正、公平的原则，依法对案件进行审理和判决，切实保障私生子的合法权益，让他们能够在健康、稳定的环境中成长。

案情回顾:

小朱与小李未婚生育一子。孩子成长过程中，小朱独自承担抚养责任，小李拒绝支付抚养费。小朱决定起诉小李索要抚养费，但不确定私生子能否主张抚养费以及如何证明亲子关系等成为争议点。

案情分析:

1、非婚生子女与婚生子女权利等同，小李作为孩子父亲，对未成年子女有抚养责任，其拒绝支付抚养费的行为不符合法律规定。
2、小朱起诉时，需提供如医学鉴定报告等证明亲子关系的证据，以及小李未履行抚养义务的事实，法院会综合考虑孩子需求、双方经济能力和当地生活水平等来确定抚养费数额和支付方式。