双方自愿变更抚养权时，通常会按照以下步骤来处理：
一、协议变更
首先，双方要自行签订一份抚养权变更协议。
这份协议至关重要，它需要明确且详细地约定抚养权变更的相关事宜。
比如，在抚养方式方面，要确定孩子日常的生活起居、教育安排等具体由哪一方负责；关于探视权，要清晰规定未直接抚养孩子一方探视的时间、频率、地点以及方式等。
协议必须是双方完全自愿签署的，并且要严格确保其内容符合法律规定，这样才能保障协议的有效性。
二、办理公证（非必需）
为了进一步增强协议的法律效力，双方可以考虑前往公证处对抚养权变更协议进行公证。
公证的作用在于为协议提供更权威的证明，让协议在法律层面上更具可信度。
不过需要注意的是，公证并非法定的必经程序，即使不进行公证，只要协议本身合法有效，同样具有法律效力。
三、法院确认（建议）
尽管双方是自愿协商并达成一致意见的，但从防范法律风险的角度出发，建议向法院申请通过司法程序来确认抚养权的变更。
一般来说，需要向有管辖权的法院，也就是被告住所地或经常居住地法院，提交变更抚养权的申请以及相关的材料。
法院在收到申请后，会进行认真审查。
只有当法院认为此次变更既符合法律规定，又有利于子女的利益时，才会出具民事调解书或判决书，正式确认抚养权的变更。

案情回顾:

小朱和小李原就孩子抚养权有约定，后双方自愿变更抚养权。小朱主张只需签协议就行，小李认为应去公证，还应让法院确认，双方对变更程序产生争议，最终小朱坚持只签协议，小李则走完公证和法院确认程序。

案情分析:

1、双方自行签订抚养权变更协议是可行的，只要协议是自愿签署且内容符合法律规定，明确抚养方式、探视权等事宜，协议就有效。小朱坚持只签协议，从法律角度协议本身能保障其权益。
2、公证并非必需程序，小李选择公证能增强协议法律效力。向法院申请确认虽非强制，但法院确认能更好防范风险，法院会审查是否符合法律和利于子女利益，小李的做法也有其合理性。