通常来讲，私生子的父亲在一般情形下是有着抚养未成年子女的法定责任的。
要是孩子还没成年，那父亲就应该按时支付抚养费。
不过，当父亲到了六十岁这个年纪的时候，通常就已经超过了法定的抚养年龄。
从法律的相关规定方面来说，六十岁的父亲一般是不需要再去承担抚养的义务。
但要是父亲自身经济条件还可以，并且也愿意继续抚养孩子，那法律方面是不会加以禁止的。
要是孩子已经成年了，一般情况下确实不能再要求父亲支付抚养费。
然而，如果孩子虽然已经成年了，但是还在接受教育，又或者是因为其他一些原因而无法独立生活，在父亲有这个能力的情况下，也是可以通过协商的方式来让父亲支付一定的费用的。
总而言之，具体的情况得依据实际的情形以及法律的规定来进行判断。
要是出现了争议的话，是可以通过诉讼等方式来妥善解决的。

案情回顾:

小朱是私生子，小朱未成年时，父亲小李一直按时支付抚养费。小李60岁后，小朱仍未成年，小李以超过法定抚养年龄为由停止支付抚养费。小朱成年后在接受教育无法独立生活，要求小李支付费用，小李拒绝，小朱遂欲起诉。

案情分析:

1、小李60岁前，小朱未成年，小李有法定抚养义务应支付抚养费。
2、小李60岁后虽超法定抚养年龄，但经济条件允许且之前愿意抚养的情况下，停止支付抚养费存在争议。
3、小朱成年但接受教育无法独立生活时，小李有能力却拒绝支付费用，小朱有权通过诉讼解决争议。