当遗产的唯一继承人决定放弃遗产时，通常会按照以下方式来处理：
一、确认放弃行为的法定程序
继承人若要放弃继承，需要以书面形式清晰明确地表达出来，而且这个表示应当在遗产正式处理之前完成。
之所以要求书面形式，是为了确保放弃行为有明确的记录，避免后续可能出现的纠纷。
同时，这种放弃行为还需经过其他相关方或者法院的确认，以保证其真实性和合法性。
比如，可能需要提供相关的证明材料，说明放弃的原因等，其他相关方会对这些材料进行审核，法院则会依据法律规定和实际情况进行判定。
二、明确遗产的归属
当唯一继承人放弃继承后，该遗产一般会被认定为无主财产。
按照法律规定，对于无主财产，要经过特定的法定程序。
在完成这些程序后，通常情况下，遗产会收归国家所有。
但如果死者生前是集体所有制组织的成员，那么遗产就会归其所在的集体所有制组织所有。
这是为了确保遗产的合理归属，避免出现财产归属不明的情况。
三、妥善处理遗产债务
继承人一旦放弃继承，对于被继承人依法应当缴纳的税款和所欠的债务，就可以不用承担清偿责任。
也就是说，遗产的债务不会转嫁给放弃继承的继承人，而是会在遗产的实际范围内进行清偿。
例如，用遗产中的资金来偿还债务等。

案情回顾:

小朱是某遗产的唯一继承人，其书面表示放弃继承，却未在遗产正式处理前完成相关程序，且未提供放弃原因等证明材料。之后对于遗产归属存在争议，有人认为应归国家，有人认为应归集体组织。同时，遗产存在债务，对于如何清偿也有分歧。

案情分析:

1、小朱放弃继承未按法定程序完成，其放弃行为可能不被认可。书面表示需在遗产处理前完成且要经相关方或法院确认，缺少证明材料难以保证放弃行为的真实性和合法性。
2、关于遗产归属，若确定小朱放弃有效，遗产为无主财产，若死者非集体组织成员，应归国家；若是，则归集体组织。
3、遗产债务应在遗产实际范围内清偿，小朱放弃继承可不承担清偿责任。