在我国的法律体系中，遗产继承的起始时间明确规定为被继承人死亡之时。
下面我们来详细分析一下相关情况：
1.自然死亡的情形：
当被继承人的生命体征彻底消失，且经过专业的医学诊断和确认后，便认定其死亡，此时遗产继承正式开始。
而这个死亡证明上所记载的具体时间，就是确定遗产继承开始的关键时间节点。
2.宣告死亡的情形：
在特定的法定条件满足时，若某人失踪达到一定期限，利害关系人可以向人民法院提出宣告失踪人死亡的申请。
人民法院会依据相关法律规定和实际情况进行审查和判断。
一旦法院作出宣告死亡的判决，那么判决作出的这一天，就被认定为被继承人的死亡时间，遗产继承也随之开始。
继承开始后，遗产的分配遵循一定的规则。
首先，若没有其他特殊安排，按照法定继承的方式办理；若被继承人留有遗嘱，则依照遗嘱继承或者遗赠的相关规定执行；若存在遗赠扶养协议，那就按照协议的内容进行办理。
继承人应当及时确定遗产的范围，并对遗产进行合理分割。
倘若在这个过程中出现了纠纷，各方可以先尝试通过友好协商来解决；若协商不成，还可以寻求有关部门进行调解；若调解也无法解决问题，那么就可以通过诉讼的方式，由法院依法作出公正的裁决。

案情回顾:

小朱失踪多年，其利害关系人小李向法院申请宣告小朱死亡。法院经审查后作出宣告死亡判决。小朱留有遗产，小胡称应按法定继承分配，而小丽认为小朱生前留有遗嘱应按遗嘱继承，双方产生争议。

案情分析:

1、关于死亡时间的认定，法院宣告死亡判决作出之日即为小朱的死亡时间，此时遗产继承开始，这是符合法律关于宣告死亡情形下遗产继承起始时间规定的。
2、对于遗产分配规则，若小朱确实留有有效遗嘱，应优先按遗嘱继承；若无遗嘱等特殊安排，则按法定继承办理。小胡和小丽应确定遗嘱真实性，再按相应规则分配遗产。