私生子，也就是非婚生子女，在法律层面上和婚生子女享有同等的继承权。
当生父的原配离世且留下合法遗嘱时，如果遗嘱中清楚地写明私生子能够继承其财产，那么私生子就可以依据这份遗嘱来进行继承。
倘若没有遗嘱存在，按照法定继承的规则，私生子与其他法定继承人一样，都有权利去继承生父原配的遗产。
然而，在实际的继承过程中，可能会遭遇一些阻碍情况，像其他继承人可能会提出异议等。
为了确保能够顺利继承财产，私生子需要提供足够充分的证据来证明自己与生父之间的亲子关系，
总的来说，私生子在法律上是拥有权利去继承生父原配的财产的，只要他能够通过合法的途径，如提供确凿的证据来证明自己的身份以及应有的继承权，就可以保障自己的合法权益，避免因继承问题而引发不必要的纠纷和麻烦。

案情回顾:

小朱是私生子，生父原配小丽离世并留下遗嘱写明小朱可继承财产。但小胡等其他继承人提出异议，认为小朱非亲生，不应继承，双方就小朱能否继承小丽遗产产生争议。小朱拿出出生证明欲证明亲子关系。

案情分析:

1、从遗嘱角度看，小丽遗嘱明确小朱可继承财产，只要遗嘱合法有效，小朱按遗嘱继承具有法律依据。
2、面对其他继承人异议，小朱提供出生证明等证明亲子关系的证据，若证据充分有效，其作为法定继承人的身份得以确认，就有权继承小丽遗产。