关于遗嘱继承起诉诉讼费的承担问题，具体情况如下：
一、预交责任
在遗嘱继承起诉案件中，诉讼费的预交责任通常落在原告身上。
当原告决定向法院提起诉讼时，就需要按照规定预交诉讼费。
依据《诉讼费用交纳办法》的明确规定，原告在接到人民法院发出的交纳诉讼费用通知之后，需从次日起的7日内完成案件受理费的交纳。
这是诉讼程序启动的一个必要环节，确保司法程序的正常运转。
比如，甲因遗嘱继承纠纷起诉乙，甲就需要在规定时间内预交诉讼费，若甲未按时交纳，可能会影响案件的正常受理。
二、最终承担责任
1.败诉方负担原则
通常情况下，诉讼费由败诉方来承担。
这体现了司法的公平原则，让在纠纷中存在过错或者主张不被支持的一方承担相应的诉讼成本。
若案件出现部分胜诉、部分败诉的情形，人民法院会根据案件的具体情况，如双方主张的合理程度、证据的支持力度等，来确定当事人各自负担的诉讼费用数额。
例如，一方主张的遗产份额部分得到法院支持，那么双方可能按比例分担诉讼费。
2.协商确定
若双方当事人在诉讼过程中通过协商解决了纠纷，他们也可以自行协商确定诉讼费的承担方式。
只要这种协商不违反法律规定，法院一般会予以认可，尊重当事人的自主意愿。

案情回顾:

小朱和小李因遗嘱继承产生纠纷，小朱作为原告向法院起诉小李。小朱接到法院交纳诉讼费用通知后，未在7日内预交诉讼费。此外，在诉讼过程中对于诉讼费最终由谁承担双方存在争议。

案情分析:

1、关于预交责任，依据《诉讼费用交纳办法》，小朱作为原告应在规定时间内预交诉讼费，其未按时交纳可能影响案件正常受理。
2、对于最终承担责任，若小朱败诉，按败诉方负担原则，诉讼费应由小朱承担；若部分胜诉部分败诉，法院会根据具体情况确定双方分担比例。若双方协商解决纠纷，可自行协商诉讼费承担方式，只要不违法，法院会认可。