在以下几种情况下，购买者有权要求开发商退还其所支付的购房定金：
首先，当开发商并未取得相关的商品房销售资质时；
其次，如果开发商存在任何欺诈或其他不当行为，或者双方在签订购房合同时，对于合同条款的达成无法达成共识；
最后，由于无法归咎于双方当事人的原因，使得商品房买卖合同未能成功订立，在此种情况下，开发商也同样需要将定金予以退还。

《民法典》第五百八十七条债务人履行债务的，定金应当抵作价款或者收回。给付定金的一方不履行债务或者履行债务不符合约定，致使不能实现合同目的的，无权请求返还定金；收受定金的一方不履行债务或者履行债务不符合约定，致使不能实现合同目的的，应当双倍返还定金。