在购买房屋并支付定金之后，能否申请退还定金需视具体情形而定：1.倘若购房者由于自身原因未能提供合法充分的理由而决定不再购买该房屋，那么其先前支付的定金将无法获得退还；2.如果卖方未能依照合同规定履行义务或履行过程中存在严重违反合同约定的行为，导致合同目的无法实现，那么卖方应当向买方双倍返还定金。关于定金罚则的适用，应遵循以下基本准则：1.对于支付定金的一方，如出现根本性违约行为，定金将不予退还；2.对于收取定金的一方，如出现根本性违约行为，应当向对方双倍返还定金；3.当买卖双方按照约定全面履行合同时，定金可作为货款或由卖方收回。综合以上分析，购房者在支付定金后能否申请退还，需要依据违约责任的归属进行判断。若为购房者违约，定金将无法退还；反之，若为卖方违约，定金则有权要求退还。此外，定金罚则的适用具有一定的原则性，无论是买卖双方如何履行合同，亦或是违约方为何方，均会对定金的处理产生直接影响。

《中华人民共和国民法典》第五百八十七条债务人履行债务的，定金应当抵作价款或者收回。给付定金的一方不履行债务或者履行债务不符合约定，致使不能实现合同目的的，无权请求返还定金；收受定金的一方不履行债务或者履行债务不符合约定，致使不能实现合同目的的，应当双倍返还定金。