当有限责任公司面临破产困境时，其负债的妥善处理方式如下：
首先，进入破产程序的有限公司有义务发布公告，明确告知是否已启动破产程序；
其次，针对已经获知企业陷入破产境地的债权人而言，务必于规定期限之内进行申报，若因故未能及时申报者，可在财产分配实施之前进行补充申报；
再次，在紧紧保障破产费用与公共同益债务被妥善清除之后，有限公司需严格依照各债权人已完成申报的债权数额，依据法律规定之先后次序进行清偿。

《中华人民共和国公司法》第一百八十七条
清算组在清理公司财产、编制资产负债表和财产清单后，发现公司财产不足清偿债务的，应当依法向人民法院申请宣告破产。
公司经人民法院裁定宣告破产后，清算组应当将清算事务移交给人民法院。
第一百八十八条
公司清算结束后，清算组应当制作清算报告，报股东会、股东大会或者人民法院确认，并报送公司登记机关，申请注销公司登记，公告公司终止。