在抚养费债务拖欠问题上，如果当事人拒绝履行相关义务而情节严重的话，是存在被判刑监禁的可能性的。
具体来说，若欠债人具备偿付能力但有意识地不予承担责任，而且经过法院采用强制执行措施之后仍然无动于衷，那么他或她可能就会因涉嫌犯下“拒不执行判决、裁定罪”而面临法律制裁。
这种情况无疑将给孩子们的日常生活及健康成长带来无尽的负面影响。
然而，在实际操作过程中，法院会根据诸多复杂因素进行全面分析与考量，从而判定是否应认定为犯罪行为。

《中华人民共和国刑法》第三百一十三条
【拒不执行判决、裁定罪】对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
单位犯前款罪的，对单位判处罚金，并对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员，依照前款的规定处罚。