依照法律规定，对于构成盗窃罪的违法行为人所涉赃款，应在相关案件的调查、审查起诉以及审判环节予以及时追缴并上交国库。
通常情况下，犯罪嫌疑人为避免加重处罚，都会选择在首次被侦查机关进行询问或采取强制措施之时，积极主动地向司法部门呈报并上交自己所有的赃款，或者在之后随着司法程序的推进，根据司法机构提出的请求和指引，及时完成赃款的上交给付工作。
在此过程中，如有成功上交赃款者，其行为可被视为情节轻微，从而可能对其量刑产生积极影响。

《中华人民共和国刑法》第六十四条
【犯罪物品的处理】犯罪分子违法所得的一切财物，应当予以追缴或者责令退赔；对被害人的合法财产，应当及时返还；违禁品和供犯罪所用的本人财物，应当予以没收。没收的财物和罚金，一律上缴国库，不得挪用和自行处理。