在通常情况下，如若某一方坚持拒绝履行子女抚养费的支付责任，通常并不会因此触犯刑法，这主要归因于此类行为属于一种民事争议。
然而，倘若当此方拒付抚养费引发另一方提起诉讼；
之后在经过法庭决议要求其必须承担相应费用之时，倘若此方尽管具备执行能力却依然坚决拒绝执行，且这种行为已经达到较为严重的程度时，那么就可能会涉嫌触犯拒不执行裁定、判决罪这种犯罪行为，此时法庭将会进行刑事审判并判定给予刑罚惩罚。
关于何为情节严重，法律依据如下所示:
（1）被执行人故意隐匿或转移、损坏财产，甚至将财产无偿转让给他人，抑或是以明显违背市场规律的价格名正言顺地进行交易，从而导致法院的判决、裁定无法得到执行；
（2）作为担保人或被执行人的角色，刻意隐匿或转移、损坏财产，甚至将已经向法院提供担保的财产擅自转让，进而使法院的判决、裁定无法得以顺利执行；
（3）作为协助执行义务人，在接获法院有关协助执行的通知书后，依然无视法律规定，不予配合执行工作，从而使法院的判决、裁定无法得到执行；
（4）被执行人、保证人以及协助执行义务人同国家机关工作人员相互勾结，企图利用国家机关工作人员的职权实施干扰行为，从而阻碍法院的判决、裁定能够顺利执行；
（5）其他具有执行能力却拒绝执行，情节特别严重的情况。

《刑法》第三百一十三条
对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
单位犯前款罪的，对单位判处罚金，并对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员，依照前款的规定处罚。