遗弃未成年人可能面临的法律责任如下：
首先是民事责任方面，父母对未成年子女有着法定的抚养义务，一旦做出遗弃行为，就构成了侵权。
这意味着他们需要承担民事赔偿责任，
其次是行政责任，这种情况下，由公安机关根据相关规定给予治安管理处罚。
可能的处罚方式有警告，让遗弃者认识到自己行为的错误性；罚款，通过经济处罚让其承担后果；甚至行政拘留，限制其人身自由一段时间，以起到警示作用。
最后是刑事责任，若遗弃行为情节恶劣，就可能构成遗弃罪。
一般会处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。
而如果遗弃行为致使被害人重伤或者死亡，那么处罚将更为严厉，处五年以上有期徒刑。
遗弃未成年人这种行为极其严重，会对未成年人的身心健康带来不可挽回的伤害。
法律之所以对此予以严厉制裁，就是为了维护未成年人的合法权益，同时也维护社会公共利益，确保每一个未成年人都能在安全、健康的环境中成长。

案情回顾:

小朱和小李是一对夫妻，育有一未成年女儿小静。后两人因感情不和分居，均对小静不管不顾，遗弃了小静。小静生活陷入困境且生病无钱医治。此事引发争议，焦点在于小朱和小李遗弃小静应承担何种法律责任。

案情分析:

1、从民事责任看，小朱和小李作为父母对小静有法定抚养义务，遗弃行为构成侵权，需支付抚养费保障小静基本生活，承担医疗费确保其身体健康。
2、从行政责任讲，公安机关可依据规定对小朱和小李给予治安管理处罚，如警告、罚款，甚至行政拘留。
3、若遗弃行为情节恶劣构成遗弃罪，将承担刑事责任，处五年以下有期徒刑、拘役或管制；若致小静重伤或死亡，处罚更严，处五年以上有期徒刑。