当当事人因涉嫌寻衅滋事罪而被刑事拘留时，他们通常需要经历一系列严密的司法程序。
这其中包括了公安机关的侦查阶段，在这个阶段内，公安机关将会全力搜集与案件有关的各类证据，并对案情展开深入细致的调查研究。
倘若证据确凿且充分，公安机关便会依法向检察院提出申请，请求批准逮捕涉案人员。
检察院则会对案件进行全面审查，并根据实际情况做出是否批准逮捕的决定。
若经审查批准逮捕，那么案件将进入下一个侦查环节；
反之，若未获批准，公安机关可能会考虑变更对涉案人员的强制措施。
待侦查工作结束之后，公安机关会将案件移交至检察院进行审查起诉。
检察院同样会对案件进行严格的审查，并最终决定是否向法院提起公诉。
一旦决定提起公诉，检察院便会将案件相关资料移交给法院。
最后，便是法院的审判阶段，法院将依据事实真相以及法律规定，对此类案件进行公正公平的审理，并依法做出相应的判决。
值得注意的是，在此期间，犯罪嫌疑人有权利委托律师作为自己的辩护人，以保护自身的合法权益不受侵犯。