随意砍伐公共场所的绿植树木能否导致行为人面临刑事拘留的后果，需要根据实际情况进行细致分析与判断。
假设砍伐的数量达到一定程度或是属于情节严重范畴，则有可能踏入犯罪分野并因此遭到刑事拘留。
例如在未取得许可的前提下，恶意实施大规模的砍伐行动，给当地带来了巨大的经济损失以及对生态环境造成了不可修复的破坏，这样的行为便可能涉嫌违反相关法律规定。
然而若砍伐数量较少且情节轻微，那么行为人或许仅需承担相应的民事赔偿责任或是接受行政处罚即可。

《中华人民共和国刑法》第三百四十五条
【盗伐林木罪；滥伐林木罪；非法收购、运输盗伐、滥伐的林木罪】盗伐森林或者其他林木，数量较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数量巨大的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金；数量特别巨大的，处七年以上有期徒刑，并处罚金。
违反森林法的规定，滥伐森林或者其他林木，数量较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数量巨大的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
非法收购、运输明知是盗伐、滥伐的林木，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
盗伐、滥伐国家级自然保护区内的森林或者其他林木的，从重处罚。