在此提醒您，根据相关法律规定，因斗殴行为引发的刑事拘留事项，在刑事诉讼的任何环节进行和解协商都是可行且具有效力的。
然而，尽早展开这一步的行动将能更好地服务于整个案件的处理流程。
特别是在侦查期阶段，倘若能够达成一份合理的和解协议并获得被害者的谅解支持，很有可能会对改变强制性措施或撤销案件产生积极的推动作用。
同样地，在审查起诉阶段若能顺利达成和解，也有可能对检察机关的起诉决策产生深远的影响。
而在审判阶段，如果和解谈判取得了圆满成功，那么这也可以作为减轻刑罚的重要依据之一。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百八十八条
【和解协议的适用范围】下列公诉案件，犯罪嫌疑人、被告人真诚悔罪，通过向被害人赔偿损失、赔礼道歉等方式获得被害人谅解，被害人自愿和解的，双方当事人可以和解：
（一）因民间纠纷引起，涉嫌刑法分则第四章、第五章规定的犯罪案件，可能判处三年有期徒刑以下刑罚的；
（二）除渎职犯罪以外的可能判处七年有期徒刑以下刑罚的过失犯罪案件。
犯罪嫌疑人、被告人在五年以内曾经故意犯罪的，不适用本章规定的程序。